Павел Можаев (mevamevo) wrote,
Павел Можаев
mevamevo

Categories:

Немного геометрии от аль-Бируни...

... или ещё раз к вопросу о «плоской Земле» :).

Когда заходит речь об истории науки вообще или об истории астрономии в частности, почти всегда вспоминают/упоминают о том, как грек Эратосфен Киренский (живший в III веке до нашей эры) исхитрился довольно точно оценить размеры земного шара. Описание его эксперимента стало «общим местом», поэтому описывать его методу я не буду. Скажу лишь, что для того времени полученный результат оказался удивительно неплохим (ну, при ряде допущений: до сих пор достоверно не известно, какими именно единицами измерения он пользовался; не исключено, что имевшиеся в его методе погрешности просто удачным образом «скомпенсировали» друг друга); факт остаётся фактом — именно Эратосфен первым «измерил Землю».

Однако намного реже упоминают о другом выдающемся учёном, выполнившим «измерение Земли» намного более точно при помощи другого (довольно остроумного, замечу!) метода (при том, что его измерительная техника, полагаю, качественно не намного отличалась от эратосфеновской). Речь идёт о персидском учёном-энциклопедисте Абу Рейхане аль-Бируни, жившем в X—XI веках. Аль-Бируни оставил весьма заметный на то время след в очень многих науках, но обратимся к его методу определения размеров нашей планеты, который основывался на таком простом и банальном факте, что «с большей высоты видно больше» :).

Вот схема (ручной работы!) к геометрическому построению аль-Бируни:

AlBiruni.jpg

Наблюдатель находится на вершине горы в точке A; высоту горы над поверхностью Земли, то есть, длину отрезка AE, обозначим h. Наблюдатель инструментально определяет из точки наблюдения угол между горизонтальной плоскостью DA и направлением на наиболее далёкую видимую точку горизонта (точка B). То есть, инструментально определяется ∠DAB, обозначим этот угол как α (на схеме он обозначен крупной красной альфой).

Нетрудно показать, что этот угол будет равен углу ∠BCA (углу между двумя радиусами земного шара, один из которых проходит через точку наблюдения, а второй — через наиболее далёкую видимую точку горизонта). Действительно, ∠BCA=90−∠FCD (так как ∠FCA является по определению прямым). Но ∠FCD=∠BDA (так как эти углы являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых FC и AD и секущей CD). В то же время ∠BDA=180−90−α (так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, а ∠DBA тоже является по определению прямым).

Имеем элементарное уравнение: ∠BCA=90−∠FCD. После замен и подстановок, описанных выше, имеем:
∠BCA=90−∠BDA
∠BCA=90−(180−90−α)
∠BCA=90−180+90+α
∠BCA=α

Если равны углы, то равны и их косинусы. Таким образом, после непосредственного измерения угла ∠DAB нам стал известен косинус ∠BCA. Последний в прямоугольном треугольнике ABC можно выразить как отношение прилежащего катета (в нашем случае — CB) к гипотенузе (CA). Опять же, получаем несложное уравнение: cos α = CB/CA, где СВ — это искомый радиус Земли (r). Но отрезок CA в нашем случае является суммой отрезка СЕ (того же радиуса Земли) и отрезка AE (высоты точки наблюдения, h), то есть, cos(α) = r/(r+h). Иначе говоря, r=(r+h)·cos(α).

Данную формулу можно преобразовать следующим образом:
1. Раскрываем скобки. Получаем r=r·cos(α)+h·cos(α).
2. Делим члены уравнения на r. Получаем 1=cos(α)+h·cos(α)/r.
3. Вычитаем cos(α). Получаем h·cos(α)/r = 1−cos(α)
4. Отсюда получаем итоговую формулу:

Cos.jpg

По этой формуле можно найти радиус Земли r, если известны две величины: косинус угла α (угол между горизонтальной плоскостью и наиболее дальней видимой точкой горизонта) и высота точки наблюдения h.

Угол α измерялся непосредственно с точки наблюдения. Высота горы, с которой аль-Бируни проводил свои измерения, рассчитывалась при помощи тригонометрических/триангуляционных методов (даже если склоны горы пологие и точно измерить расстояние от точки наблюдения до проекции вершины горы на земную поверхность нельзя, высоту горы всё же можно довольно надёжно вычислить, если только произвести ряд наблюдений с равнины, находящейся на небольшом удалении от горы; аль-Бируни в этих вопросах ссылался на труды ещё индийского математика и астронома Брахмагупты, VII век н.э.). Известно, что измеренный аль-Бируни «угол наклона соединения Неба и Земли» (то есть, наш угол α) составил 34 угловых минуты (это чуть-чуть больше, чем угловой размер Луны или Солнца при наблюдении с Земли невооружённым глазом). Это, к слову, означает, что высота, с которой учёный проводил свои наблюдения, составляла порядка 300 метров с небольшим (то есть, для осуществления подобных измерений даже не нужно было взбираться слишком уж высоко). Разумеется, для чистоты эксперимента требовалось, чтобы видимый горизонт был бы максимально ровным/открытым (то есть, лучше всего для подобных измерений подходила какая-нибудь гора, с которой открывался вид на море/океан).

Как бы то ни было, аль-Бируни получил замечательные (ну, как для своего времени) результаты: по его измерениям радиус Земли равнялся по отдельным современным оценкам/трактовкам (единицы измерения, использовавшиеся учёным, до сих пор могут трактоваться по-разному) примерно 6340 километрам (при современном значении среднего радиуса Земли в 6371 км.; полярный радиус Земли меньше экваториального её радиуса примерно на 21 километр). То есть, ошибка аль-Бируни составила лишь порядка 30 километров! Удивительная точность для XI века! Но сколь ни велика была бы ошибка, уважения заслуживает сам метод!

Увы, до сих пор ещё находятся странные люди, утверждающие, что Земля плоская. Дык, если бы она была плоской, подобного «падения горизонта» не наблюдалось бы...

К слову, на основе аналогичных геометрических рассуждений определяется и дальность видимого горизонта в зависимости от высоты точки наблюдения. Так, человек среднего роста (170 см) на абсолютно ровной равнине обозревает лишь круг радиусом примерно в 4,9 км (всё, что дальше, уже скрывается кривизной Земли). Если же подняться на высоту Эйфелевой башни (324 м), то (повторюсь — без учёта деталей рельефа!) взору откроется уже круг радиусом в 68 километров. С высшей точки Крыма, горы Роман-Кош (1545 м), будь Крым ровным, был бы обозрим круг радиусом чуть меньше, чем в 150 км.

Слава науке вообще и геометрии в частности!

Tags: умности
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

  • 102 comments